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Aktuelles Datum und Uhrzeit: Do 08.12.2016 03:38 Benutzername: Passwort: Auto-Login

Thema: Mathe, wer kann helfen? II vom 02.10.2006


Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen MGi Foren-Übersicht -> Off Topic - Diskussionsrunde -> Mathe, wer kann helfen? II
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invi

Dabei seit: 24.06.2004
Ort: wo der pfeffer herkommt.
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Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 09.10.2006 14:53
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Desto mehr x gegen unendlich geht, desto grösser werden die eingesetzten Zahlen für x. Und desto grösser diese Zahlen werden, desto mehr konvergiert (näher sich an) der ganze Bruch nach 1.

Für x=1 hättest du 2/3.

Für x=100 hättest du 101/102.

Für x=10'000 hättest du 10001/10002.

Wie du siehst nähert sich der Bruch mit Zunahme von x der Zahl 1.

Soweit meine vielleicht weniger professionelle Sichtweise zu deiner Aufgabe *zwinker*
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Verfasst Mo 09.10.2006 21:47
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worshipper hat geschrieben:
z. b. das hier:

f(x)=(x+1) : (x+2)

wie bekomme ich den grenzwert der funktion her?

in der schule vermuteten wir, dass es lim f(x)=1 ist, warum?


Die Vermutung ist nicht soooo schlecht Lächel .

Ihr habt offensichtlich untersucht, was passiert, wenn man x immer grösser werden lässt oder anders ausgedrückt, gegen unendlich laufen lässt.

Tatsächlich je grösser x wird, desto mehr nähert sich f(x) 1, im Unendlichen wäre es dann 1, mathematisch ausgedrückt:
f(x)=1
x->unendlich

Man muss allerdings prinzipiell 2 Fälle untersuchen:
1.) x geht gegen "positiv unendlich", also x ist sehrt gross und positiv (1000000000000......................)
2.) x geht gegen "negativ unendlich", also x ist sehr gross und negativ (-1000000000000000...............)
In beiden Fällen ist der Grenzwert der Funktion in deinem Fall 1.

Bevor ich weitermache, schau dir mal im Plot die grüne Waagerechte Linie bei f(x)=1 an.



Wenn Du in Gedanken immer weiter nach rechts schaust, also x immer grösser wird, läuft f(x), immer mehr gegen 1.
1 ist also der Grenzwert der Funktion wenn man x immer grösser macht also gegen unendlich laufen lässt.
mathematisch:

lim (f(x)) =1
x->+ue

Wenn Du nun immer weiter nach links schaust, also x immer kleiner und negativ wird, läuft f(x), auch immer mehr gegen 1.
1 ist also der Grenzwert der Funktion wenn man x immer kleiner macht also gegen minus unendlich laufen lässt.
mathematisch:

lim (f(x)) =1
x->-ue

Wie kann man das aus der Gleichung entnehmen? :
f(x)=(x+1) : (x+2)

Standardmässig wie folgt:

zunächst kann man die höchst Potenz von x ausklammern:

f(x)=x(1+1/x)/x(1+2/x)

Damit kannst Du jetzt x vor der Klammer kürzen und es bleibt:

f(x)= (1+1/x)/(1+2/x).

Nun kann man sich leicht vorstellen das bei immer sehr grossen x die Teile 1/x und 2/x gegen 0 gehen und übrig bleibt also der Bruch 1/1 und das ist der limes 1.

So, die Grenzwertbetrachtung für x gegen minus ue bzw. x gegen plus ue ist aber nur ein Teil der Grenzwertbetrachtung.

Zusätzlich schaut man sich generell auch das Verhalten von Funktionen im Bereich der Definitionslücken an:
In Deinem Beispiel:
f(x)=(x+1) : (x+2)
ist die Funktion für minus 2 nicht definiert, das heisst, man darf für x nicht -2 einsetzten, da man durch null teilen würde und das ist in der Mathematik nich erlaubt (was selbst excel von Microschrott weiss: divided b zero not allowed).
Würde man -2 einsetzen lautete der Wert -1/0, also hat die Funktion bei minus 2 eine sogenannte Definitionslücke.


Somit muss man also auch das Verhalten der Funktion im Bereich von x=-2 untersuchen.
Und zwar von 2 Seiten, dem sog. linksseitigen und dem sog. rechtsseitigen Grenzwert:
Hier im Plot zeigt die senkrechte rote Linie die Definitionslücke, die schwarzen Kurven zeigen die Funktion:



Für den linkseitigen Grenzwert nähert man x von links -2 an, also etwa durch Einsetzen der Zahl -2,1.
f(x) wäre hiermit : (-2,1+1)/(-2,1+2), also -1,1/-0,1.
Daran sieht man schon, dasss je näher die Zahl an -2 ist, desto kleiner und negativ der Funktionswert ist.
Mit anderen Worten:
lim (f(x)) = +00
x->-2
Das heisst, je näher ich -2 komme desto höher werden die f(x), x hat niemals den Wert -2.

Für den rechtsseitigen Grenzwert nähert man x von rechts -2 an, also etwa durch Einsetzen der Zahl -1,9.
f(x) wäre hiermit : (-1,9+1)/(-1,9+2), also -0,9/0,1.
Daran sieht man schon, dasss je näher die Zahl an -2 ist, desto kleiner und negativ der Funktionswert ist.
Mit anderen Worten:
lim (f(x)) = -00
x->-2

"gehst" Du im Plot von rechts an der senkrechten Linie inmmer weite nach oben, also Richtung positv unendlich, näherst Du Dich immer weiter der miuns 2,
gehst Du von links an die senkrechte Linie, wanderst Du immer weiter Richtung minus unendlcih.
Versuche das am Plot nachzuvollziehn, das hilft.

also, die Grenzwertbetrachtung immer für die Fälle:
x-> +ue
x-> -ue
sowie für die Definitionslücken linksseitig
x-> a für x < a
x-> a für x > a

Falls Fragen, bitte frag.
Grüssse
M_a_x

P.S.: Falls Ihr noch nicht über Definitionslücken gesprochen habt, lass es mich issen, ich will nicht für Verwirrung sorgen.


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Mo 09.10.2006 21:52, insgesamt 2-mal bearbeitet
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worshipper
Threadersteller

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Verfasst Di 10.10.2006 07:09
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hallo,

vielen dank für diese ausführliche erklärung.
das mit dem grenzwert bestimmen habe ich nun gecheckt.
vielen dank dafür.

gerade gestern haben wir mit der "definitionslücke" angefangen.
wir haben aber mit einer einfachen funktion f(x)=x-2 angefangen.
dabei ist aber auch der begriff delta aufgetaucht.

ich muss erstmal selber das aufarbeiten und dann komme ich auf dich zurück.

vielen dank
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Di 10.10.2006 08:50
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Antworten mit Zitat Zum Seitenanfang

worshipper hat geschrieben:
hallo,

vielen dank für diese ausführliche erklärung.
das mit dem grenzwert bestimmen habe ich nun gecheckt.
vielen dank dafür.

gerade gestern haben wir mit der "definitionslücke" angefangen.
wir haben aber mit einer einfachen funktion f(x)=x-2 angefangen.
dabei ist aber auch der begriff delta aufgetaucht.

ich muss erstmal selber das aufarbeiten und dann komme ich auf dich zurück.

vielen dank


Ja, gerne.
Gruss

M_a_x
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worshipper
Threadersteller

Dabei seit: 01.10.2004
Ort: worshipper fear satan
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 16.10.2006 07:38
Titel

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okay, ich hab nun mal versucht, das ganze zu wiederholen. komme aber überhaupt nicht weiter...
bzw. wüsste gar nicht mehr wo ich anfangen soll? was soll die definitionslücke darstellen, warum brauche ich sie?
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Touny

Dabei seit: 14.07.2005
Ort: Aachen
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Verfasst Mo 16.10.2006 08:37
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Mathe ist normalerweise mein Spezialgebiet ... aber bei f(x)=x-2 sehe ich beim besten Willen keine Definitonslücke.

Bei f(x)=1:(x-2) gibt es eine deifinitionslücke, und zwar bei x=2, da man eine Zahl nicht durch 0 teilen kann/darf, dort entsteht dann eine Lücke im Graphen.

Oder vertausche ich grade Begriffe?

Edit: Smilies rausgehauen.


Zuletzt bearbeitet von Touny am Mo 16.10.2006 09:42, insgesamt 1-mal bearbeitet
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 16.10.2006 20:57
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worshipper hat geschrieben:
okay, ich hab nun mal versucht, das ganze zu wiederholen. komme aber überhaupt nicht weiter...
bzw. wüsste gar nicht mehr wo ich anfangen soll? was soll die definitionslücke darstellen, warum brauche ich sie?


Don't panic, es ist wirklich einfach.

Einfach merken:
Zum Zeichnen einer Funktion untersucht man das Verhalten
1.) für sehr grosse positive x-Werte und für sehr grosse negative x-Werte (Verhalten gegen plus unendlich und minus ue)
2.) das Verhalten gegen die die Definitionslücke (auch Pol- oder Sprungstellestelle genannt) -falls überhaupt vorhanden.


Zu 2.), also den Definitionslücken.

es gibt Funktionen, die keine Definitionslücken haben, wie z.B.: die erwähnte: f(x)=x-2, d.h::
Du kannst für x alle Werte für x einsetzen: 2 oder 0, auch minus 16 oder 70 Kack-Ocktrilliarden, es gibt keine Einschränkung, Du wirst für jeden beliebigen x-Wert einen Funktionswert f(x) erhalten.

Siehe Plot, die Funktion ist stetig, das heisst es gibt keine Lücken oder Sprungstellen.
(der Graph lässt sich zeichnen ohne "abzusetzen", siehe Plot).
In schwarz f(x)=x-2, zusätzlich x² in grün, auch ohne Definitionslücken:



anders verhält es sich z.B.: bei dieser Funktion:
f(x)=1/x.

Es ist eine elementare Regel in der Mathematik, dass man nicht durch null teilen darf.
Wenn ich für x also 0 einsetzen würde, wäre f(x)=1/0 und das ist einfach nicht erlaubt, punktum.

Der Nenner darf einfach nicht Null werden.
Im Beispiel f(x)=1/x kannst Du alle Werte for x einsetzen, alle ausser Null.

Nun kommt dei Grenzwertbetrachtung in der Nähe dieser Lücke Null zum Einsatz (zur Erinnerung: Du willst den Verlauf des Graphen skizzieren):
Du darfst zwar nicht Null einsetzen, aber Du kannst mit Deinen x-Werten beliebig nahe an Null herangehen.

Beispiel:
f(x)=1/x,
für x=0,001 wird f(x)=1/0,001=1000
für x=0,00000001 wird f(x)=1/0,00000001=1000000000

und so weiter, je näher dein gewähltes x gegen die Definitionslücke geht, desto grösser wird der resultierende Wert f(x).
Er läuft gegen plus unendlich. (Einfach in Gedanken positive Werte sehr nahe bei Null einsetzen)

Dieses Beispiel heisst sogenannter rechtsseitiger Grenzwert, da Du Dich der Null von Rechts näherst (siehe Plot).
Nun musst Du auch noch das Verhalten für den linksseitigen Grenzwert untersuchen:
Das funktioniert genauso wie beschrieben, nur eben, dass Du Dich der Null von links näherst, die Werte also kleiner als Null sind:

Beispiel:
f(x)=1/x,
für x=-0,001 wird f(x)=1/-0,001=-1000
für x=-0,00000001 wird f(x)=1/-0,00000001=-1000000000

Für den linksseitigen Grenzwert verhält sich der Graph also anders als rechtsseitig, er läuft gegen minus unendlich.

Der Plot zeigt deutlich, dass wenn Du auf der x-achse von links immer näher zu Null gehst, wird f(x) immer kleiner, geht also gegen minus ue.
wenn Du auf der x-achse von rechts immer näher zu Null gehst, wird f(x) immer grösser, geht also gegen plus ue.
(Der Graph lässt sich nicht ohne abzusetzen zeichnen, Du musst bei er Lücke Null den "Stift absetzen", siehe senkrechte rote Linie bei x=0).



Es gibt natürlich auch funktionen mit mehr als einer Polstelle:


Hausaufgabe : *zwinker*
Welche der folgende Funktionen haben Definitionslücken, wenn vorhanden, welche?

f(x)= x³
g(x)=1/x³
h(x)=15/((x+4)(x-2))
k(x)=x³+x²-3x+6

(Nur 2 der o.g. Funktionen haben Lücken, bedenke einfach der Nenner darf nicht Null werden und suche entsprechende x-werte bei denen das der Fall sein würde und Du hast die Lücken)

Wenn feddich, könn mer weitermachen mit der Bertachtung gg plus und minus ue.
Wenn nicht, bitte fragen.
Grüsse
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skate-rock

Dabei seit: 29.08.2003
Ort: Osnabrück
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 16.10.2006 21:44
Titel

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@worshipper

was machstn do? welche schule? hab den selben dreck
auf der FOS wirtschaft gehabt.

grauenhaft.
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