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Aktuelles Datum und Uhrzeit: Sa 03.12.2016 01:25 Benutzername: Passwort: Auto-Login

Thema: Mathe, wer kann helfen? II vom 02.10.2006


Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen MGi Foren-Übersicht -> Off Topic - Diskussionsrunde -> Mathe, wer kann helfen? II
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Verfasst Di 17.10.2006 19:15
Titel

Fernsehtipp

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Mal etwas off topic:
Für alle, die meinen Mathe und Zahlen seien dröge (und auch für alle anderen) ein Fernsehtipp:
http://www.quarks.de/dyn/2098.phtml
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worshipper
Threadersteller

Dabei seit: 01.10.2004
Ort: worshipper fear satan
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Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 23.10.2006 09:21
Titel

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M_a_x hat geschrieben:
worshipper hat geschrieben:
okay, ich hab nun mal versucht, das ganze zu wiederholen. komme aber überhaupt nicht weiter...
bzw. wüsste gar nicht mehr wo ich anfangen soll? was soll die definitionslücke darstellen, warum brauche ich sie?


Don't panic, es ist wirklich einfach.

Einfach merken:
Zum Zeichnen einer Funktion untersucht man das Verhalten
1.) für sehr grosse positive x-Werte und für sehr grosse negative x-Werte (Verhalten gegen plus unendlich und minus ue)
2.) das Verhalten gegen die die Definitionslücke (auch Pol- oder Sprungstellestelle genannt) -falls überhaupt vorhanden.


Zu 2.), also den Definitionslücken.

es gibt Funktionen, die keine Definitionslücken haben, wie z.B.: die erwähnte: f(x)=x-2, d.h::
Du kannst für x alle Werte für x einsetzen: 2 oder 0, auch minus 16 oder 70 Kack-Ocktrilliarden, es gibt keine Einschränkung, Du wirst für jeden beliebigen x-Wert einen Funktionswert f(x) erhalten.

Siehe Plot, die Funktion ist stetig, das heisst es gibt keine Lücken oder Sprungstellen.
(der Graph lässt sich zeichnen ohne "abzusetzen", siehe Plot).
In schwarz f(x)=x-2, zusätzlich x² in grün, auch ohne Definitionslücken:



anders verhält es sich z.B.: bei dieser Funktion:
f(x)=1/x.

Es ist eine elementare Regel in der Mathematik, dass man nicht durch null teilen darf.
Wenn ich für x also 0 einsetzen würde, wäre f(x)=1/0 und das ist einfach nicht erlaubt, punktum.

Der Nenner darf einfach nicht Null werden.
Im Beispiel f(x)=1/x kannst Du alle Werte for x einsetzen, alle ausser Null.

Nun kommt dei Grenzwertbetrachtung in der Nähe dieser Lücke Null zum Einsatz (zur Erinnerung: Du willst den Verlauf des Graphen skizzieren):
Du darfst zwar nicht Null einsetzen, aber Du kannst mit Deinen x-Werten beliebig nahe an Null herangehen.

Beispiel:
f(x)=1/x,
für x=0,001 wird f(x)=1/0,001=1000
für x=0,00000001 wird f(x)=1/0,00000001=1000000000

und so weiter, je näher dein gewähltes x gegen die Definitionslücke geht, desto grösser wird der resultierende Wert f(x).
Er läuft gegen plus unendlich. (Einfach in Gedanken positive Werte sehr nahe bei Null einsetzen)

Dieses Beispiel heisst sogenannter rechtsseitiger Grenzwert, da Du Dich der Null von Rechts näherst (siehe Plot).
Nun musst Du auch noch das Verhalten für den linksseitigen Grenzwert untersuchen:
Das funktioniert genauso wie beschrieben, nur eben, dass Du Dich der Null von links näherst, die Werte also kleiner als Null sind:

Beispiel:
f(x)=1/x,
für x=-0,001 wird f(x)=1/-0,001=-1000
für x=-0,00000001 wird f(x)=1/-0,00000001=-1000000000

Für den linksseitigen Grenzwert verhält sich der Graph also anders als rechtsseitig, er läuft gegen minus unendlich.

Der Plot zeigt deutlich, dass wenn Du auf der x-achse von links immer näher zu Null gehst, wird f(x) immer kleiner, geht also gegen minus ue.
wenn Du auf der x-achse von rechts immer näher zu Null gehst, wird f(x) immer grösser, geht also gegen plus ue.
(Der Graph lässt sich nicht ohne abzusetzen zeichnen, Du musst bei er Lücke Null den "Stift absetzen", siehe senkrechte rote Linie bei x=0).



Es gibt natürlich auch funktionen mit mehr als einer Polstelle:


Hausaufgabe : :wink:
Welche der folgende Funktionen haben Definitionslücken, wenn vorhanden, welche?

f(x)= x³
g(x)=1/x³
h(x)=15/((x+4)(x-2))
k(x)=x³+x²-3x+6

(Nur 2 der o.g. Funktionen haben Lücken, bedenke einfach der Nenner darf nicht Null werden und suche entsprechende x-werte bei denen das der Fall sein würde und Du hast die Lücken)

Wenn feddich, könn mer weitermachen mit der Bertachtung gg plus und minus ue.
Wenn nicht, bitte fragen.
Grüsse


hey ja,

also hab am we das mal versucht.

lücken hat g(x), da ich für den nenner ne null einsetze und ne null rausbekomme.
zudem h(x), definitionslücke bei -4 und +2, da wenn ich diese werte einsetze der nenner null wird.

richtig??

also ist die definitionslücke, der wert bei der meine funktion keinen wert aufweisen darf, da der nenner null wird?

in der schule haben wir mit dem links und rechtsseitigen grenzwert angefangen... in diesem zusammenhang, haben wir aber den grenzwert nicht unendlich betrachtet, sondern gegen eine feste größe. z.b. gegen 1 oder -1. wie ist das zu verstehen?

beispiel:
f(x)=(x+1)(x-7)
------------
x+1

vermutung: lim(fx)=-8 bei x gegen -1

okay, ich weiss, dass meine definitionlücke bei -1 steht, da hier der nenner null wird, aber warum ist dan mein grenzwert die -8?
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Verfasst Mo 23.10.2006 20:34
Titel

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M_a_x hat geschrieben:

Hausaufgabe : *zwinker*
Welche der folgende Funktionen haben Definitionslücken, wenn vorhanden, welche?

f(x)= x³
g(x)=1/x³
h(x)=15/((x+4)(x-2))
k(x)=x³+x²-3x+6

worshipper hat geschrieben:

hey ja,
also hab am we das mal versucht.

na, das wird doch schon *Thumbs up!*

worshipper hat geschrieben:

lücken hat g(x), da ich für den nenner ne null einsetze und ne null rausbekomme.


Richtig, g(x) hat bei x=0 eine Lücke.
Der Grenzwert für x ->0 wäre allerdings plus bzw minus unendlich (nicht null, wei Du geschrieben hast).


worshipper hat geschrieben:

zudem h(x), definitionslücke bei -4 und +2, da wenn ich diese werte einsetze der nenner null wird.

richtig??

Perfekt.
worshipper hat geschrieben:

also ist die definitionslücke, der wert bei der meine funktion keinen wert aufweisen darf, da der nenner null wird?

Sagen wir besser: die Definitionslücke ist der x-wert, der nicht eingesetzt werden darf, da der Nenner null wird.
Du hast es verstanden.


worshipper hat geschrieben:

in der schule haben wir mit dem links und rechtsseitigen grenzwert angefangen... in diesem zusammenhang, haben wir aber den grenzwert nicht unendlich betrachtet, sondern gegen eine feste größe. z.b. gegen 1 oder -1. wie ist das zu verstehen?

beispiel:
f(x)=(x+1)(x-7)
------------
x+1

vermutung: lim(fx)=-8 bei x gegen -1

okay, ich weiss, dass meine definitionlücke bei -1 steht, da hier der nenner null wird, aber warum ist dan mein grenzwert die -8?

spätes edit:
{Korrektur siehe nächste posts
Hier hast Du jetzt irgendwie "Pech" mit Deinem Beispiel, da die o.g. Funktion sich kürzt und es keine Definitionslücken gibt:
Polynomdivision von
f(x)=(x+1)(x-7)
------------
x+1
ergibt
f(x)=x-7, das heisst, es ist eine stinknormale Grade, die keine Definitionslücken hat.
Es gibt also keinen Grenzwert, auch nicht bei minus 8.

}korrektur Ende

worshipper hat geschrieben:

in der schule haben wir mit dem links und rechtsseitigen grenzwert angefangen... in diesem zusammenhang, haben wir aber den grenzwert nicht unendlich betrachtet, sondern gegen eine feste größe. z.b. gegen 1 oder -1. wie ist das zu verstehen?


Wie weiter oben gesagt:
Grundsätzlich betrachtet man zwei verschiedene arten von Grenzwerten:

1.) Grenzwerte bei x-Werten im bereich von Definitionslücken, die bei jeder Funktion natürlich unterschiedlich sein können oder es sogar gar keine gibt (wie im Beispiel oben: f(x)=x-7).
Im Bereich der Lücken betrachtet man den rechts- und linksseitigen Grenzwert.
2.) Grenzwerte bei unendlich hohen x-Werten (x-> plus ue bzw. minus ue)


Ein Beispiel:
f(x)=1/(x-1).
1.) Genzwerte bei Definitionslücken:
Du siehst ziemlich schnell, dass x=1 nicht eingesetzt werden darf, f(x) also eine Definitionslücke bei 1 hat.

Nun kannst Du als erstes den linsseitigen Grenzwert betrachten.
Was passiert als, wenn ich x von links gegen eins laufen lasse?
x=0,9 .......x=0,99.......0,99999 usw.
f(0,9)=1/(0,9-1)=-10 ........ f(0,99999)=1/(0,99999-1)=-100 000 us.

Der linkseitige Grenzwert, x gegen eins von links :
lim f(x) =-unendlich
x->1, x<1

Nun der rechsseitige Grenzwert,
x=1,1.....x=1,01.....x=1,00001
f(1,1)=1/(1,1 - 1)=10.......f(1,00001)=1/(1,00001-1)=100 000

lim f(x)=+unendlich
x->, x>1

1.) Die Betrachtung der Funktion im Bereich der Lücke (x=1) ist hiemir erledigt:

linksseitiger GW: minus unendlich
rechtsseitiger GW: plus unendlich

2.) die Betrachtung für unendlich grosse positive und unendlich grosse negative x-Werte:
f(x)=1/(x-1)

im Geiste einsetzen von beliebig grossen positiven x-werten macht den Term immer kleiner werden, ggen null gehen,also:
f(x)=0
x->+ue

einsetzen von beliebig hohen negativen x-Werten macht den term ebenfalls immer kleiner, und lässt den Funktionswert gegen null gehen:
f(x)=0
x->-ue


Zusammengefasst das Gesamtergebnis der Grenzwertbetrachtung:
1.) Grenzwerte bei Definitionslücken (siehe Plot unten die senkrechte rote Linie):
linksseitig:
lim f(x) =-unendlich
x->1, x<1
rechtsseitig:
lim f(x)=+unendlich
x->, x>1

2.) Grenzwerte für x gegen plus und minus unendlich (siehe im Plot die waagerechte grüne Linie):

f(x)=0
x->+ue

f(x)=0
x->-ue

Der plot zu
f(x)=1/(x-1) :




Da die "Hausaufgabentaktik erfolrgreich schien Lächel , probiere mal diese:

Bestimme die definitionslücken und Grenzwerte der Funktione:
f(x)=3/(x+2)

Vorgehen:
-Definitionslücke
-x gegen Definitionslücke links- und rechtsseitig
-x gegen unendlich plus und minus

Hoffe, das ist hier nicht zu unübersichtlich.
Wie auch immer:

Falls Fragen, frag Jo!

Grüsse
M_a_x


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Di 24.10.2006 20:32, insgesamt 3-mal bearbeitet
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worshipper
Threadersteller

Dabei seit: 01.10.2004
Ort: worshipper fear satan
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Di 24.10.2006 07:49
Titel

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zu meiner aufgabe:

du kannst doch (x+1) aus zähler und nenner kürzen.
setzt du dann für x=-1 kommt man auf -8

-----------------------------------------------------

den rest gucke ich mir genauer an.
kannst du eigentlich auch etwas über die stetigkeit von funktionen sagen?
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
Ort: -
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Di 24.10.2006 11:15
Titel

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worshipper hat geschrieben:
zu meiner aufgabe:

du kannst doch (x+1) aus zähler und nenner kürzen.
setzt du dann für x=-1 kommt man auf -8

spätes edit, antwort zurück, muss noch mal nachblättern.

worshipper hat geschrieben:

-----------------------------------------------------

den rest gucke ich mir genauer an.
kannst du eigentlich auch etwas über die stetigkeit von funktionen sagen?

Kann ich, aber später.


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Di 24.10.2006 19:20, insgesamt 1-mal bearbeitet
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
Ort: -
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Di 24.10.2006 22:15
Titel

Antworten mit Zitat Zum Seitenanfang

worshipper hat geschrieben:
zu meiner aufgabe:

du kannst doch (x+1) aus zähler und nenner kürzen.
setzt du dann für x=-1 kommt man auf -8

Ja, stimmt.
(Verzeihung für die Verunsicherung)

worshipper hat geschrieben:

-----------------------------------------------------

den rest gucke ich mir genauer an.
kannst du eigentlich auch etwas über die stetigkeit von funktionen sagen?


Zunächst vielleicht etwas anschaulich:
Eine Funktion ist dann stetig, wenn sie keine Sprungstellen aufweist.
wikipedia hat geschrieben:

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden:
Eine reellwertige Funktion ... ist stetig, wenn der Graph der Funktion f ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben.


Der mathematische Stetigkeitsbegriff ist etwas "sperrig", die verständlichste Definition, dei ich im Netz gefunden habe:
http://www.mathematik.net/stetigkeit/s01s40.htm hat geschrieben:


Gegeben sei eine Funktion f(x) und eine Stelle x0.
Dann nennt man die Stelle x0 stetig, wenn die
folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1 Die Stelle x0 im Definitionsbereich von f(x) liegt
2 Der Grenzwert (limes) an der Stelle x0 vorhanden ist
(d.h. linksseitiger Grenzwert= rechtsseiter Grenzwert)
3 An der Stelle x0 der Grenzwert (limes) mit dem
Funktionswert f(x0) übereinstimmt:
lim f(x)=lim f(x0)
x->x0
Für die Endpunkte des Definitionsbereiches gilt:
4 Einen Endpunkt des Definitionsbereiches nennt man stetig,
wenn der einseitige Grenzwert gebildet werden kann,
und mit dem Funktionswert übereinstimmt.

Demnach ist die von Dir genannte Funktion im Punkt x0=-1 nicht stetig.

Ich schlage vor, Du postest mal eine aufgabe aus Eurer Schule (Klausur, Übungsaufgabe oder Unterricht) mit möglichst genauem Wortlaut in der Fragestellung, evtl sogar mit Musterlösung.

Dann können wir das Ganze gezielt durchgehen.
Grüsse
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worshipper
Threadersteller

Dabei seit: 01.10.2004
Ort: worshipper fear satan
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 04.12.2006 14:16
Titel

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ist lang her... aber wer hätte es gedacht ich habs auch so hinbekommen.

aber tausen dank an M A X... Grins

doch leider hackt es wieder bei mir.
und zwar wir sind nun zu den ableitungen gekommen.

dabei haben wir uns gemerckt, dass eine funktion stetig aber nicht differenzierbar sein kann.
dagegen eine funktion die differenzierbar ist auch stetig ist.

okay soweit?

nun ist meine frage: was ist der unterschied zwischen stetig und differenzierbar.

stetig heißt doch... ich muss nicht absetzen beim zeichnen...

oder???
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DooH

Dabei seit: 06.08.2003
Ort: Köln
Alter: 36
Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 04.12.2006 17:14
Titel

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wir nehmen genau das Gleiche in Mathe durch ... trockener Stoff, der Prof heizt da nur so durch Lächel

Aber geht schon Grins
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