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Aktuelles Datum und Uhrzeit: Fr 09.12.2016 04:54 Benutzername: Passwort: Auto-Login

Thema: Mathe, wer kann helfen? II vom 02.10.2006


Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen MGi Foren-Übersicht -> Off Topic - Diskussionsrunde -> Mathe, wer kann helfen? II
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M_a_x

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Verfasst Do 01.02.2007 23:08
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Mein lieber Junge, das fällt Dir echt früh ein *zwinker* .

Woher stammt die aufgabe? aus der Schule oder aus dem Netz?
Der Parameter k macht es nämnlich etwas "fummelig" und ich weiss nicht ob, Dich eine Erklärung anhand dieser aufgabe eher verwirrt als es hilft.

Falls Ihr andere aufgaben macht, bitte posten, das machts vielleicht einfacher Dir zu helfen, Du bist echt spät dran.

anbei zunächst der plot der ausgangsfunktion für k=1 (rot).
Du findest drei Punkte, an die man eine waagerechte tangente anlegen kann, nämlich die hoch- und tiefpunkte bei;
x1=0 (den hab ich vergessen zu benennen), sowie punkt a und b. Hier ist die Steigung 0.(Stell dir vor, du stehst auf einem Berg, rechts und links geht's bergab, nur auf dem dem Gipfel stehst du nicht schräg,
Die erste ableitung siehst Du schwarz gestrichelt. Dort wo die hoch- und Tiefpunkte sind, ist sie 0 (Punkte c und d sowie bei x=0, den ich wieder vergessen hatte), die erste ableitung ist 0 (siehe die gestrichelte funktion: dort wo sie die x-achse schneidet, hat die ausgangsfunktion ihre hoch und tiefpunkte)



OK, ich rechne Dir erstmal 1.1 und 1.2. vor und Du gibst Deine Kommentare.

1.1. Bestimmen Sie die Nullstellen in abhängigkeit von k:
Die Nullstellen sind dort wo f(x) 0 wird (Schnittpunkt mit der x-achse)
=>
f(x)=0=1/3 x hoch 4 -2kx³+8/3k²x²

Jetzt muss man etwas geschickt umformen um die Nullstellen zu finden
als erstes durch 1/3 teilen um x hoch 4 allein zu haben:
=>
0= x hoch 4 -6kx³+8k²x²
nun kann man x² ausklammern und erhält:
0=x²(x²-6kx+8k²)
So, schon hast Du die erste (doppelte Nullstelle) x1,x2:
Wenn x² null wird, ist der ganze ausdruck null.
x² wird 0 wenn Du null einsetzt.
Das heisst für den ausdruck rechts in der Klammer ist es egal welche Werte dort stehen.
Es können beliebige k-werte ingestzt werden, an der Stelle x=0, bleibt der Term immer Null.
Die Teillösung ist also:
f(x)=0 bei x=0 mit beliebigem k.

Nun die rechte Klammer:
Die Funktion wird auch 0, wenn die rechte klammer null wird:
0=(x²-6kx+8k²)
Wir finden jetzt die Nullstellen mit der pq-Formel:
x3,4=-p/2+-wurzel((p/2)²-q)
mit p/2=6k/2=3k
und q=8k²
=>
x3,4=3k+-wurzel((3k)²-8k²)

Ergebnis:
Die weiteren Nullstellen in abhängigkeit von k lauten:
x3=4k
x4=2k

also all Nullstellen mit den Nullstellen von oben:
x1,2=0 mit k beliebig
x3=4k
x4=2k

In worten:
Egal welches k ich in die gleichung einsetze bei x=0 ist immer eine Nullstelle.
die zwei anderen Nullstellen finden sich für 4k und 2k.
für k= 1 also bei 2 und 4, bei k =2 bei 4 und 8 usw.... (hab's grad geplottet, kommt hin)

1.2. Bestimmn Sie alle stellen mit waagerechter tangente in abhängigkeit von k:


Waagerechte tangenten finden sich dort, wo die Steigung der funktion null ist. -spätes EDIT: und die 2te ableitung ungleich null - habe ich gestern abend nicht mehr gerechnet) EDIT ende-
Wenn die Steigung null ist wird die erste ableitung null, also erste ableitung bilden und 0 setzen:
f'(x)=0=4/3 x³ -6kx²+16/3k²x
Nun wieder das gleiche Gefummel wie soeben: den faktor vor x hoch dividieren, geschickt umformen und die Nullstellen finden:
=>
0=x(x²-4,5kx+4x²)
und wieder wird der Term null, wenn x null wird also
x1=0 also kann man bei x=0 eine waagerechte tangente an die ausgangsfunktion legen, egal für welche k.(k beliebig)

Nun wie oben der ausdruck in der Klammer muss null werden:
0=(x²-4,5kx+4x²)
geht wieder über die pq-Formel:
x3,4=-p/2+-wurzel((p/2)²-q)
=>
x3,4=2,25k+-wurzel(17/16 k²)

Die waagerechten tangenten an der ausgangsfunktion finden sich also bei x=0 für k beliebig
und bei x3= 2,25k+wurzel(17/16 k²) sowie bei 2,25k-wurzel(17/16 k²) für die waagerechten tangenten in abhängigkeit von k.

Das war jetzt sicher ein wenig schwer verdaulich oder?

So, sag was, ich würe Dir schon gern helfen, wenn möglich.
N8 * Ich bin müde... *

P.s: 1000 tippfehler ich weiss, hab aber keinen bock mehr jetzt


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Fr 02.02.2007 06:59, insgesamt 3-mal bearbeitet
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M_a_x

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Verfasst Fr 02.02.2007 22:44
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Hi, hier die nächsten, aber sag mir doch bitte Bescheid, ob Du die nächsten noch gebrauchen kannst.
Erstens ist die Tipperei nämlich nicht ohne und zweitens komme ich mir manchmal etwas blöde vor, wenn von Dir kein feedback kommt.
Dann frage ich mich schon warum ich Spinner in einem Mediengestalterforum freitagabens Lösungen zur Kurveniskussion poste. Grins


OK, weiter:
mit k=1 wird die Funktion
f(x)=1/3 x hoch 4 -2x³+8/3x²
1.3. Ermitteln sie die koordinaten der extrema, die monotonieintervalle und folgern sie daraus die art der extrema.

Um extrema (hoch und tiefpunkte) zu bestimmen benötigst du die erste und zweite ableitung.
Bedingung für extrema:
erste ableitung=0 (f'(x=0)) und zweite abl. ungleich 0 (f''(x) ungleich 0), dann und nur dann existieren and der jeweiligen stelle extrema.
also:

Extrema:
Stammfunktion:
f(x)=1/3 x hoch 4 -2x³+8/3x²
erste abl.:
f'(x)=4/3x³-6x+16/3x
zweite abl.:
f''(x)=4x²-12x+16/3

Nullstellen der 1sten abl.:
f'(x)=0=4/3x³-6x/16/3x
0=x³-4,5x²+4x
=>
0=x(x²-4,5x+4)

führt auf die nullstellen der 1sten ableitung:
x1=0,
x2=3,28
x3=1,22

an diesen Stellen befinden sich mögliche extrema.

Um das zu verifizieren musst du diese stellen x in die zweite abl. einsetzen und überprüfen ob sie null wird oder nicht:
f''(x)=4x²-12x+16/3
f''(0)=16/3
f''(3,28 )=....
f''(1,22 )=...

Kannste bitte selbst ausrechnen, sie werden alle ungleich 0, das heisst an diesen Stellen befinden sich also die extrema.
Die noch fehlenden f(x) findest du durch einstzen der x-werte in die ausgangsfunktion f(x) also:
f(0)=....
f(1,22)=...
f(3,28 )=......
Nun hast du die koordinaten der extrema.
Monotonieintervalle:
Man kann mit der ersten ableitung überpüfen, ob eine funktion in gewissen intervallen monoton steigt oder monoton fällt, es gilt:
Ist die erst abl. in einem intervall positiv, steigt die funktion dort, ist sie negativ, fällt sie.
Dazu musst du zunächst die Funktion in intervalle zerlegen.

Das macht man, indem die abschnitte von extremum zu extremum betrachtet.
In unserem fall ist das von
- unendlich bis 0,
von null bis 1,22
von 1,22 bis 3,28
von 3,28 bis unendlich.
Man setzt nun einn beliebigen x-wert aus dem intervall (aber nicht genau den x-wert der extrma, da hier ja die 1te ableitnung 0 ist, sondern irgninen wert im intervall) in die erste ableitung ein und prüft ob er positiv (monoton steigend) oder negativ (monoton fallend) wird.

Wenn Du das tust (ist mir jetzt zuvil tipperei) stellst du fest, dass die erste abl. der reihe nach
f'(x)<0 , monoton fallend
f'(x)>0, monoton steigend
.......
usw. wird

anbei der plot der funktion, der ersten ableitung und der intervalle:



Hier kann man schön das der funktionsgraph fällt, wenn die erste abl. <0 wird und umgekehrt.

Die folgerung auf die art der extrema:
Ich würde es aus der Monotoniebtrachtung fogendermassen formulieren:
Ist die erste ableitung in einenm intervall positiv, so ist ein darauffolgender extrempunkt ein Hochpunkt (Maximum)
Der Vorzeichenwechsel ist hier von + zu -.
Ist die erste ableitung in einem intervall negativ, so ist ein darauffolgender extrempunkt ein Tiefpunkt (Minimum)..
Der Vorzeichenwechsel ist hier von - zu +.

Hoffe es hat soweit geholfen.
Sag Bescheid, wenn Du den Rest noch sehen willst.


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Fr 02.02.2007 22:53, insgesamt 5-mal bearbeitet
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worshipper
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Verfasst Mo 05.02.2007 16:03
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bin gerade selbst am nachrechnen.
haste ne pn von mir....
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worshipper
Threadersteller

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Verfasst Mo 05.02.2007 21:35
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okay. hab nun selber gerechnet und komme genau auf deine lösungen!!!

Grins Grins Grins

jetzt dazu aber noch frage:

Kann man nun daraus schließen, dass die Nst. von f'(x) die extrempunkte sowie das monotonieverhalten der funktion f(x) angibt?

und f''(x) nur den wendepunkt der funktion f(x)
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Touny

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Verfasst Mo 05.02.2007 23:02
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Jetzt will ich hier auch mal kurz etwas los werden. Da ich gerade mitter in der Abivorbereitung bin oder es zumindest sein sollte hilft mir das auch ein bisschen.

Da, wo bei f'(x) Nullstellen auftreten, sind potentielle Extrempunkte. Dies musst du aber durch f''(x) =/= (ungleich) 0 beweisen. Durch das Ergebnis kannst du dann auch die Art des Extrempunktes (Hoch- bzw. Tiefpunkt) bestimmen. Falls f''(x) ebenfalls gleich 0 ist handelt es sich um einen Sattelpunkt.

Sonst hast du wohl recht.

war das überhaupt gefragt?
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M_a_x

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Verfasst Mo 05.02.2007 23:29
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worshipper hat geschrieben:
okay. hab nun selber gerechnet und komme genau auf deine lösungen!!!

Grins Grins Grins

jetzt dazu aber noch frage:

Kann man nun daraus schließen, dass die Nst. von f'(x) die extrempunkte sowie das monotonieverhalten der funktion f(x) angibt?


Die Nst von f'(x) zeigen Dir, wo mögliche Extremstellen liegen.
Um also Extremstellen zu finden musst Du die Nst der ersten ableitung finden, Richtig.
Die Nullstellen der ersten abl. alleine sagen Dir noch nichts über das Monotonieverhalten, da sie ja bei den Extremstellen Null sind (keine Steigung, weder monoton fallend noch monoton steigend da ja null.)

Deshalb muss man um genau sagen zu können, ob bei den Nst der ersten abl. f'(x) tatsächlich Extrempunkte sind, die 2te ableitung an dieser Stelle bilden. Erst wenn diese ungleich null ist, findest Du dort einen Extrempunkt.

Zusammengefasst:
Für die Existenz eines Extremums müssen 2 Kriterien erfüllt sein:
1.) f'(x)=0, heisst auch "notwendiges Kriterium"
2.) f''(x) ungleich 0, heisst auch "hinreichendens Kriterium"

Ist die zweite ableitung grösser null, liegt ein tiefpunkt vor,
ist sie kleiner 0, ein hochpunkt.


worshipper hat geschrieben:

und f''(x) nur den wendepunkt der funktion f(x)


Für den Wendepunkt gelten eigene Kriterien, hierfür benötigt man die 2te und die 3te abl.

Die Bedingungen für die Existenz eines Wendepunkte lauten:
f''(x)=0
f'''(x) ungleich null.


Soviel so far....to be continued.

Gruss M_a_x


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Mo 05.02.2007 23:35, insgesamt 1-mal bearbeitet
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M_a_x

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Verfasst Di 06.02.2007 22:20
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Ski und Rodel Gut

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OK, let's ski:

2.) Der Graph der Funktion f(x)=.... für x E [2;5] beschreibt den Skihang. (Originaltext hier gekürzt, siehe aufgabe).
an welcher Stelle ist die Steigung betragsmäßig am höchsten?


Das Wort Steigung stößt einen förmlich auf die erste abl., die ja die Steigung der ausgangsfunktion beschreibt.
Wie findet man nun die betragsmäßig höchste Steigung?

antwort: die (betragsmässig) höchste Steigung findet sich dort, wo die erste ableitung den betragsmässig höchsten Wert hat.

(betragsmäßig heißt übrigens auch negative Zahlen werden positiv dargestellt, also der Betrag von minus 7 und 7 st für beide 7.)

Schauen wir uns zunächst den Plot an (Ich habe die ausgangsfunktion in schwarz und die erste ableitung in rot geplottet.):



Laut aufgabenstzellung interessiert hier nur der Intervall zwischen x: 2 und 5.


Zuerst macht es also Sinn, sich die Extrempunkte der 1sten abl. anzuschauen, da sie am relativ höchsten oder tiefsten liegen und mizhin Kanditaten für die betragsmäßig höchste Steigung sind.
Dazu benötigen wir zusätzlich die 2te und die dritte ableitung.

In der vorherigen aufgabe habe ich gesagt, Extrempunkte finden sich dort, wo f'(x)=0 und f''(x) unglich null sind.
Da wir aber nun die Extrempunkte der ersten ableitung untersuchen, "verschiebt sich" die Bezeichnung der ableitungen.
Wir haben also jetzt für die Extrempunkte der ersten ableitung die Bedingungen:
f''(x)=0
und
f'''(x) ungleich null

also flugs die funktion und die ersten 3 abl.:
f(x) = -0.1 x hoch 4 + 2 x³ - 13.8 x² + 36.4 x - 23.5
f'(x) = -0.4 x³ + 6 x² - 27.6 x + 36.4
f''(x) = -1.2 x² + 12 x - 27.6
f'''(x) = -2.4 x + 12


Nun die 2te abl. Null und die 3te ungleich null prüfen:

f''(x)=0=-1,2 x²+12 x -27,6

=>0=x²-10x+23

nach bekannter Formel:
x1/x2=5+-wurzel((5)²-23)
...=5+-1,41
x1=6,41
x2=3,58

x1 fällt raus, da außerhalb des gegebenen Intervalls, also prüfen wir nun mit der 3ten ableitung, ob x2 Extrempunkt ist:
Einsetzen vo x2 in die 3te abl.:

f'''(3,58 ) = -1,2*3,58² +12*3,58 -27,6=2,54
=>abl. ungleich null=>Extrempunkt bei x=3,58
Da sie grösser 0 ist handelt es sich hier um einen Tiefpunkt (hatte ich schonmal erklät warum glaube ich).

Nun brauchen wir noch die betragsmäßige Steigung an dieser Stelle.
Die bekommt man indem man den gefundenen x-Wert in die 1ste ableitung einsetzt:
f'(x) = -0.4 x³ + 6 x² - 27.6 x + 36.4
f'(3,58 )=-0,4*3,58³+6*3,58²-27,6*3,58+36,4 =-3,86
der Betrag: 3,86

Siehe Plot.

Wir kennen nun den tiefsten Punkt der 1sten ableitung.
Das heißt, alle anderen Punkte (der 1sten abl.) im Intervall liegen höher unnd können theoretisch noch höhere Beträge der Steigung ergeben.

Um das abzuprüfen müssen wir noch die x-werte der Randpunkte des Intervalls (die ja in der 1sten ableitung am höchsten liegen) in die erste abl. einsetzen:

f'(2)=-0,4*2³+6*2²-27,6*2+36,4 =2 = Betrag 2
f'(5)=-0,4*5³+6*5²-27,6*5+36,4=-1,6 = Betrag 1,6. (Gaaaaaaaanz spätes edit: Tippfehler korrigiert, Edit ende)

Die betragsmässig größte Steigung ist 3,86 und findet sich bei x=3,58

Entspricht übrigens satten 75%, mein lieber Scholli *bäh*

Das wäre also meine Lösung mit er Du 9 BE (Broteinheiten???) bekommen solltest.

Is vielleicht 'n büschen viel gewesen, ein kürzerer eg fällt mir nicht ein.
Schau Dir den Plot und den Weg in Ruhe an und wenn Fragen, frag.

Die nächste geh' ich morgen an.

Gruss M_a_x


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Mi 07.02.2007 13:06, insgesamt 4-mal bearbeitet
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Verfasst Mi 07.02.2007 21:56
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3.1.

Die Oberfläche der ollen Dose berechnet sich aus:
O=2*Grundfläche + Mantelfläche
O=2 pi r² +2 pi r h
Mit O=2m² =>
1= pi r² + pi* r *h
Umstellung nach h um in der Volumenformel nur variable r zu haben:
(1-pi r²)/pi r =h

Das Volumen der ollen Dose berechnet sich aus:
V=Grundfläche * Höhe
V=pi r²*h



Einsetzen von (1-pi r²)/pi r für h ergibt:
V=pi r² *(1-pi r²/pi r)

ausmultiplizieren und kürzen führt auf
V=r-pi r³

Ich denke, das ist soweit nachvollziehbar hergeleitet, wie gefordert.

Zum Definitionsbereich:
Es ist klar, dass f(r)>0 sien muss, denn negative Volumina gibbet nich'.
Wann ist also f(r)>0?
Wenn
r-pi r³>0
=>
r>pi r³
=>
r/pi >r³
1/pi>r²
Wurzel (1/pi)>r
0.564...>r
Definitionsbereich:
0<r<0,564...


3.2.

Bestimmung von r für maximales Volumen:

das heißt wieder Maximum suchen:
V'(r)=0
V''(r)<0

V(r)=r-pi r³
V'(r)=1-3 pi r²
V''(r)=-6 pi r

V'(r)=0=1-3 pi r²
=>
0=r²-1/(3 pi)
=>
NST:
r1=Wurzel(1/(3*pi))= 0,326 (gerundet)
r2=-Wurzel(1/(3*pi))= -0,326 entfällt, da negativ und nicht in D.

V''(r1)=-6*pi*0,326=-6,78...
ist kleiner 0, also Hochpunkt.

Der Radius r, der zu maximalem Volumen führt ist also 0,326.
Nun noch das entsprechende Maximalvolumen berechnen:
V(0,326)=0,326-pi 0,326³=0,217 gerundet.

Und der Plot zum Nachvollziehen:



Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Mi 07.02.2007 22:46, insgesamt 1-mal bearbeitet
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