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Aktuelles Datum und Uhrzeit: So 11.12.2016 07:01 Benutzername: Passwort: Auto-Login

Thema: Mathe, wer kann helfen? II vom 02.10.2006


Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen MGi Foren-Übersicht -> Off Topic - Diskussionsrunde -> Mathe, wer kann helfen? II
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Mac

Dabei seit: 26.08.2005
Ort: Köln
Alter: 55
Geschlecht: Männlich
Verfasst Mi 07.02.2007 22:01
Titel

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Ganz grosses Kino. M_a_x ich zieh den Hut vor so viel Engagement
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
Ort: -
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Do 08.02.2007 09:22
Titel

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Hallo Mac,
Vielen Dank, das ehrt Dich und freut mich.

Ganz ohne Eigennutz ist es ja für mich nicht.
In Realitas bin ich ein einsamer, verpickelter Karohemden tragender Ingenieur ohne Freunde, dessen einzige Lebensfreude darin besteht, im MGI Lösungen zu Matheaufgaben zu posten.
Grins

Ne, im Ernst, das motiviert, besten Dank auch für die PN
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Kev
Account gelöscht


Ort: -

Verfasst Do 08.02.2007 12:44
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mir wind vom zusehen schon schwindelig..

ganz viel Respekt * Ich bin unwürdig *
 
worshipper
Threadersteller

Dabei seit: 01.10.2004
Ort: worshipper fear satan
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Sa 10.02.2007 21:00
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hey zur aufgabe 4 hab ich mir gedanken gemacht bzw. komme nicht weiter....

also wir sollen nachweisen dass zwischen 0 und 1 es eine nst gibt... das heißt ja dann einfach auf null setzen und rechnen. durch raten bin ich auf die erste nst gekommen. x=1
und dann mit polynomfunktion gerechnet, aber das wird ne zahl mit nem mächtig langen rattenschwanz... das kann so nicht sein???

oder lieg ich total falsch?
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
Ort: -
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst So 11.02.2007 23:40
Titel

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worshipper hat geschrieben:
hey zur aufgabe 4 hab ich mir gedanken gemacht bzw. komme nicht weiter....

also wir sollen nachweisen dass zwischen 0 und 1 es eine nst gibt... das heißt ja dann einfach auf null setzen und rechnen. durch raten bin ich auf die erste nst gekommen. x=1
und dann mit polynomfunktion gerechnet, aber das wird ne zahl mit nem mächtig langen rattenschwanz... das kann so nicht sein???

oder lieg ich total falsch?


Ich gebe zu, so habe ich es auch zunächst versucht, in der Hoffnung, die Nullstelle einfach schnell zu finden und gut isss.
Ist aber aussichtslos und vor allem gibt's eine elegantere Lösung.
(Man könnte zwar die NST über das Newton-Verfahren annähern, aber ich denke, das ist hier nicht gefragt)


Hier muss der Nachweis der NST über den Zwischenwertsatz geführt werden:
eins meiner Mathebücher hat geschrieben:

Eine auf I=[a;b] stetige Funktion nimmt in I jede Zahl zischen f(a)und f(b) als Funktionswert an.

Man muss also nur zeigen, das in unserem Beispiel der gesuchte Funktionswert der NST, also h(x)=0 zwischen den funktionswerten im Intervall [-1;0], also h(-1) und h(0) liegt.

Da der Zwischenwertsatz für im Intevall stetige funktionen gilt, muss zunächst der Nachweis der Stetigkeit geführt werden
Wikipedia hat geschrieben:






1.) Nachweis der Stetigkeit für h(x)=-2x hoch 7 +6 x hoch 6 -2 x³-2
Um x -> x0 laufen zu lassen würde ich hier einfach x0 für x einsetzen:

lim h(x) =-2x0 hoch 7 + 6 x0 hoch 6 -2x0³-2= h(x0)
x->x0

lim h(x)=h(x0)
x->x0

die Funktion ist also stetig für alle x0, also auch im Intervall [-1;0]
Es gibt keine Definitionslücken, da der Definitonsbereich D->R ist.

2.) anwendung des Zwischenwertsatzes:


Funktionswert untere Intervallgrenze x=-1.
h(-1)=2+6+4-2=10
h(-1)=10

Funtionwert obere Intervallgrenze x=0

h(0)=-2

Nach dem Zwischenwertsatz gilt, dass unsere stetige funktion h(x) im Intervall [-1;0] jede Zahl zwischen h(-1) und h(0) als Funktionswert annehmen kann.
Es gibt also Funktionswerte zwischen 10 und -2.

Der Funktionswert h(x) einer NST ist 0. Null liegt zwischen 10 und -2.
Der Nachweis ist hiermit erbracht.
Im Plot die betreffende NST in Rot.

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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
Ort: -
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Mo 12.02.2007 23:57
Titel

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worshipper hat geschrieben:


was monotonie und krümmung sind, das weiss ich, mir fehlt aber "das praktische wissen" um diese zu berechnen...

bsp:

f(x)= 1/32 xhoch4 - xhoch2 + 8

ermitteln sie die relativen extrempunkte und geben sie das monotonieverhalten wieder.


Worshipper, ich hoffe, es ist OK, das ich die Frage im Forum beantworte, obwohl wir per PN weitergemacht haben.
Per Pn kann man keine Plots einfügen und ein Bild sagt ja bekanntlich mehr als 10³ Worte.
(Falls nicht i.O. lass es mich wissen.)


die Extrempunkte sind ja soweit klar:
f'(x)=0
und
f''(x) ungleich 0

f'(x)=0=0,125x³-2x
f''(x)=0,375x-2 ungleich 0

NST. 1ste abl.: x(x²-16)
=>
x1=0, x2=-4, x3 =4

einsetzen in f''(x) ergibt für alle NST Werte ungleich 0 => alles Extrempunkte.
Einsetzen in die ausgangsfunktion f(x) ergibt dann die Punktkoordinaten.


Nun zur eigentlichen Frage der Monotonieuntersuchung:
Es ist klar, dass wenn der Graph steigt(fällt), die erste abl. positiv(negativ) sein muss.
Die erste abl. ist nämlich nichts anderes, als die Steigung des Graphen f(x) in jedem Punkt.
Folglich bedeutet ein positiver Wert der 1sten abl. f'(x) eine positive Steigung, ein Negativer eine negative Steigung (Gefälle).
MaN muss sich also nur anschauen wie die 1ste abl. verläuft.

Die Kriterien:
Positive Steigung für f'(x)>0
Negative Steigung für f'(x)<0
(Das find ich den angnehmsten Weg, die ganze Epsilon-Delta-Kacke verkompliziert daS Ganze nur unnötig)
Wenn Du Dir den Plot mal anschaust, siehst Du, dass überall dort, wo f(x) fällt, die 1ste abl. f'(x) < 0 ist und umgekehrt.
arbeitsanleitung
1. Intervalle finden:
Dazu muss Du die Extrema der Funktion finden, das haben wir oben schon erledigt.
Sie liegen bei:
x1=0, x2=-4, x3 =4
Folglich finden sich von links betrachtet folgende Intervalle
]- unendlich,-4], [-4;0], [0;4] und [4;+ue[




2.Intervalle von links nach rechts un von NST zu NST prüfen:
Die erste abl. kann man mit den gefundenen NST zur Vereinfachung auch so schreiben:

f'(x)=0,125x(x+4)(x-4)
Mit dieser Gleichung kann man prüfen, ob die erste abl. < oder > 0 wird
zuerst kleiner -4:
für alle Werte <-4 wird die 1ste abl. negativ
=> Intervall -unendlich bis -4 ist also monoton fallend
für alle Werte -4 bis 0 wird die abl. positiv, f(x) ist also monoton steigend.
usw......


Hab ein bischen im Netz recherchiert, die hier:
http://wwwu.edu.uni-klu.ac.at/vgrader/html/analysis.html
machens noch einfacher und rechnen einfach pro Intervall einen beliebigen f'(x)-Wert und schauen ob er > oder < 0 wird.

Was Dein Mathelehrer will, müsstest Du ihn mal fragen.

Nacht


Zuletzt bearbeitet von M_a_x am Di 13.02.2007 00:02, insgesamt 1-mal bearbeitet
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M_a_x

Dabei seit: 28.02.2005
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Verfasst Sa 03.03.2007 13:26
Titel

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worshipper hat geschrieben:
und drittens:

1/3axhoch3 + (a+10)x

Bestimmen sie a so, dass die Wendetangente die Steigung 2 hat.



Die Wendetangente befindet sich natürlich im Wendepunkt.
Die Bedigung für den Wendepunkt lautet:
f''(x) = 0
und f'''(x) ungleich null.

also zunächst die ersten 3 ableitungen bilden:

f(x)=1/3ax³ +(a+10)x (Stammfunktion)
f'(x)=ax²+(a+10)
f''(x)=2ax
f'''(x)=2a

Die Bedingungen für den Wendepunkt testen:
f''(x)=0=2ax
Man sieht sofort, dass wenn man für x 0 einsetzt die Wendepunktbedigung f''(x)=0 erfüllt ist.
Wäre auch für a =0 erfüllt aber dann wäre die zweite Bedingung
f'''(x)=2a ungleich 0 nicht mehr erfüllt.
Sie ist nur erfüllt wenn a ungleich 0 ist.


also ist die Bedingung f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0 für x=0 und a beliebig ausser 0 erfüllt.


Nun a so bestimmen, dass die die Wendetangente Steigung 2 hat:
Die Steigung der Wendetangente findet sich in der ersten abl.
Sie soll 2 sein:

f'(x)=2=ax²+(a+10)
Wie zuvor dargelegt können wir x=0 setzen und a beliebig ausser 0.
=>
f'(x)=2=a+10
=>a=-8

Im plot die funktion mit a=-8 und Wendetangente mit Steigung 2 (grün):

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worshipper
Threadersteller

Dabei seit: 01.10.2004
Ort: worshipper fear satan
Alter: -
Geschlecht: Männlich
Verfasst Sa 03.03.2007 17:36
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und weiter

[img]http://img405.imageshack.us/my.php?image=img6003ic5.jpg[/img]
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